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矩阵的秩是线性代数中的重要概念。它定义为矩阵的行向量空间或列向量空间的维度。等价地，矩阵的秩是矩阵中最大线性无关行向量组的个数。
从几何角度理解，矩阵的秩表示向量空间的维度。行空间是由矩阵所有行向量张成的向量空间，列空间是由所有列向量张成的向量空间。维度是指空间中线性无关向量的最大个数。
计算矩阵的秩的方法是通过行阶梯形变换。首先对矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后统计非零行的个数，这个个数就是矩阵的秩。
矩阵的秩有重要性质。首先，矩阵的秩不超过其行数和列数的最小值。其次，矩阵与其转置矩阵的秩相等。矩阵乘积的秩不超过各矩阵秩的最小值。满秩矩阵是可逆的，这在线性方程组解的判定中有重要应用。
总结一下，矩阵的秩是行空间或列空间的维度，可以通过行阶梯形变换来计算。矩阵的秩具有重要的代数性质，满秩矩阵是可逆的，在线性方程组求解中有广泛应用。矩阵的秩是线性代数中的核心概念。