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同学们好！今天我们要解决一个有趣的三维几何问题。题目问的是：在空间直角坐标系下，曲面z的平方减x的平方减4等于0，与平面z等于2的交线是什么形状？选项有双曲线、抛物线、直线和一个点。让我们一起来分析这个问题！
首先，我们来分析曲面方程。曲面方程z的平方减x的平方减4等于0，可以写成z的平方减x的平方等于4。这个方程有什么特点呢？在二维平面上，z的平方减x的平方等于4描述的是一个双曲线。但在三维空间中，由于方程里没有y变量，这意味着对于任何满足这个关系的x和z，所有的y值都是允许的。想象一下，把XZ平面上的双曲线沿着Y轴方向无限拉伸，就形成了一个双曲柱面！
现在我们来求解交线。要找到曲面和平面的交线，就要联立两个方程。我们把平面方程z等于2代入到曲面方程中。将z等于2代入z的平方减x的平方减4等于0，得到2的平方减x的平方减4等于0。计算得到4减x的平方减4等于0，化简后得到负x的平方等于0，所以x等于0。注意，在整个过程中y没有出现，说明y可以是任意值。
现在我们来理解这个结果的几何意义。交线上的点的坐标形式是(0, y, 2)，其中y可以是任意实数。这意味着什么呢？x等于0表示所有点都在YZ平面上，z等于2表示所有点都在z等于2这个水平面上。两个平面的交线是什么？没错，就是一条直线！这条直线平行于Y轴，位于x等于0和z等于2的位置。因此，曲面与平面的交线是一条直线。答案是C！
让我们总结一下解题要点。首先，曲面z的平方减x的平方减4等于0是一个双曲柱面。其次，平面z等于2是一个水平面。通过联立方程，我们得到x等于0和z等于2。这表示交线是一条平行于Y轴的直线。因此，正确答案是C，直线。这种方法可以推广到其他类似的空间几何问题中。