以资深数学教师的身份解析本题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---**Question Stem:** 在△ABC中, ∠C=90°, 且 $\vec{CA}$ = $\vec{CB}$ = 3, 点M满足 $\vec{BM}$ = 2$\vec{MA}$, 则 $\vec{CM} \cdot \vec{CB}$ 等于 **Options:** A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

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同学们好！今天我们来解决一道有趣的向量问题。题目给出在三角形ABC中，角C等于90度，向量CA和CB的长度都等于3，这说明我们有一个直角等腰三角形。另外还有一个条件，向量BM等于2倍的向量MA。我们需要求向量CM与向量CB的数量积。让我们先建立坐标系来分析这个问题。 现在我们来分析向量BM等于2倍向量MA这个关系。设M点的位置向量为m，那么向量BM等于m减去b，向量MA等于a减去m。将这个关系代入原方程，经过整理可以得到m等于三分之二a加三分之一b。这告诉我们M点在线段AB上，且将AB按2比1的比例分割。让我们在图中标出M点的位置。 现在我们来计算向量CM与向量CB的数量积。根据前面得到的结果，向量CM等于三分之二向量CA加三分之一向量CB。利用数量积的分配律，我们可以将其展开。关键在于，由于角C等于90度，向量CA和向量CB是垂直的，所以它们的数量积等于零。而向量CB与自身的数量积等于其模长的平方，即9。最终计算得到结果为3。 通过这道题，我们学会了如何处理向量问题的关键步骤。首先要识别几何图形的特征，这里是直角等腰三角形。然后利用向量关系式确定未知点的位置。接着应用数量积的分配律进行计算，特别要记住垂直向量的数量积为零这个重要性质。最终我们得到答案是3，对应选项B。这类问题的核心是将几何关系转化为代数运算。