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我们需要计算二重积分，被积函数是根号下x平方加y平方，积分区域D是由方程x平方加y平方等于2y所围成的圆。首先，我们需要确定这个积分区域的具体形状。
现在我们将圆的方程进行配方。x平方加y平方等于2y，移项得到x平方加y平方减2y等于0，配方得到x平方加括号y减1括号的平方等于1。这是一个以原点0逗号1为圆心，半径为1的圆。接下来转换为极坐标，其中x等于r乘以cos theta，y等于r乘以sin theta。圆的极坐标方程为r等于2倍sin theta，角度theta的范围是从0到π。
现在我们建立极坐标下的二重积分。原积分转换为从0到π对theta积分，从0到2倍sin theta对r积分，被积函数根号下x平方加y平方在极坐标下变为r，面积元素dx dy变为r dr d theta。所以积分变为r的平方对r积分。计算内层积分，r平方从0到2倍sin theta积分，等于r的三次方除以3在0到2倍sin theta上求值，结果是8倍sin的三次方theta除以3。
现在计算外层积分。我们需要计算8除以3乘以从0到π的sin的三次方theta的积分。使用恒等式sin的三次方theta等于sin theta乘以括号1减cos的平方theta括号。令u等于cos theta，du等于负sin theta d theta。当theta从0变到π时，u从1变到负1。积分变为8除以3乘以从负1到1的括号1减u的平方括号du。计算得到8除以3乘以4除以3，最终结果是32除以9。
总结一下这道二重积分的解题过程。首先我们将圆的方程进行配方，转换为标准形式。然后使用极坐标变换，将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。接着分步计算内层积分和外层积分，最终得到答案32除以9。这种方法在处理圆形区域的二重积分时非常有效。