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今天我们来解决一个立方体装填问题。我们有一个边长为3的立方体，需要计算能装入多少个尺寸为2乘1乘2的长方体。从体积角度看，大立方体体积是27，小长方体体积是4，理论上最多能装6点75个，但实际情况需要考虑几何约束。
接下来分析尺寸约束。长方体的三个尺寸是2、1、2，而立方体的每个方向都是3。关键在于尺寸2只能在方向3中放置一次，而尺寸1可以放置三次。因此我们需要考虑长方体的不同摆放方向：2乘1乘2、1乘2乘2，以及2乘2乘1这三种方式。
通过仔细分析，我们找到了最优摆放方案。将3乘3乘3立方体分为3乘3乘2和3乘3乘1两个区域。在3乘3乘2区域内，我们可以巧妙地放置4个长方体：前两个采用2乘1乘2的方向，第三个采用1乘2乘2的方向，第四个再次采用2乘1乘2的方向。这样总共占用16个单位体积，剩余11个单位无法再放置完整的长方体。
让我们验证这个结果。立方体总体积是27，每个长方体体积是4，4个长方体占用16个单位体积，剩余11个单位。由于剩余的11个单位无法组成完整的2乘1乘2长方体，且受到几何约束的限制，我们无法放置更多的长方体。因此，最终答案是：一个3乘3乘3的立方体最多能容纳4个2乘1乘2的长方体。
总结一下今天学到的关键要点。立方体装填问题需要同时考虑体积和几何约束，理论体积上限并不等于实际可装填的数量。不同的摆放方向会显著影响最终结果。通过仔细分析，我们得出最优解：一个3乘3乘3的立方体最多能容纳4个2乘1乘2的长方体。这类问题在包装设计和空间优化领域有着重要的实际应用价值。