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我们有一个几何问题：已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，并且它们的高都等于α。我们需要求出圆锥的体积。让我们先观察这两个几何体的结构。
现在我们来建立侧面积相等的方程。设圆柱和圆锥的底面半径都为r。圆柱的侧面积等于2πr乘以高α。圆锥的侧面积等于πr乘以母线长l。由于题目告诉我们两个侧面积相等，所以我们可以建立方程：2πrα等于πrl。
现在我们来求解半径r。从侧面积相等的方程2πrα等于πrl，我们可以消去πr，得到l等于2α。接下来，我们利用圆锥中的勾股定理：母线长的平方等于半径的平方加上高的平方。将l等于2α代入，得到4α的平方等于r的平方加上α的平方。化简后得到r的平方等于3α的平方。
现在我们来计算圆锥的体积。圆锥体积公式是三分之一π乘以底面半径的平方乘以高。我们已经求出r的平方等于3α的平方，高等于α。将这些值代入体积公式，得到V等于三分之一π乘以3α的平方乘以α。化简后得到V等于三分之一乘以3乘以π乘以α的三次方，最终答案是V等于π乘以α的三次方。
让我们总结一下解题过程。首先，我们利用圆柱和圆锥侧面积相等的条件建立方程。然后通过勾股定理求出圆锥的底面半径。最后应用圆锥体积公式计算出结果。因此，圆锥的体积为π乘以α的三次方。