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我们有两个随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数在单位正方形内为x加y，在其他地方为零。现在我们要研究变换Z等于XY，U等于X的性质。
首先求逆变换。由于U等于X，所以x等于u。将此代入Z等于XY得到Z等于uY，解出y等于z除以u。接下来确定支撑集。原支撑集条件零小于x小于一变为零小于u小于一，条件零小于y小于一变为零小于z除以u小于一，即零小于z小于u。
现在计算雅可比行列式。逆变换x等于u，y等于z除以u的偏导数矩阵为零一，u分之一，负z除以u平方。行列式等于零乘以负z除以u平方减去一乘以u分之一，结果为负u分之一，绝对值为u分之一。联合概率密度函数等于原函数乘以雅可比行列式绝对值，得到一加z除以u平方。
最后求Z的边缘概率密度函数。对联合概率密度函数关于u积分，积分区间从z到一。计算积分一加z除以u平方对u的积分，得到u减去z除以u在z到一的定积分。计算结果为一减去z减去括号z减去一，化简得到二倍的一减去z。这就是Z的边缘概率密度函数。
总结一下，我们完成了随机变量变换的完整过程。首先通过逆变换确定了新变量与原变量的关系，然后计算雅可比行列式，求得联合概率密度函数，最后通过积分得到边缘概率密度。这展示了处理随机变量变换问题的标准方法。