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欧拉函数是数论中的重要概念。它用希腊字母 phi 表示，记作 phi(n)。欧拉函数的定义是：对于正整数 n，phi(n) 等于小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。让我们通过一个具体例子来理解：计算 phi(10)。小于等于 10 的正整数有 1 到 10 这十个数。其中与 10 互质的数有 1、3、7、9，共 4 个数，所以 phi(10) 等于 4。
要理解欧拉函数，我们首先需要明确什么是互质。两个整数互质，也叫互素，是指它们的最大公约数等于 1。例如，3 和 10 的最大公约数是 1，所以它们互质。而 4 和 10 的最大公约数是 2，所以它们不互质。在这个图中，绿色的数字表示与 10 互质的数，红色的数字表示与 10 不互质的数。
现在我们来学习欧拉函数的计算公式。当 n 是质数 p 时，phi(p) 等于 p 减 1，因为除了 p 本身，所有小于 p 的正整数都与 p 互质。当 n 是质数的幂 p 的 k 次方时，有专门的公式。欧拉函数还有积性性质：当 m 和 n 互质时，phi(mn) 等于 phi(m) 乘以 phi(n)。一般情况下，欧拉函数有一个通用公式。让我们用 12 来举例：12 等于 2 的平方乘以 3，利用积性性质和公式，我们可以算出 phi(12) 等于 4。
欧拉函数有许多重要性质。首先，phi(1) 等于 1。对于质数 p，phi(p) 等于 p 减 1。对于质数的幂，有专门的公式。欧拉函数还是积性函数，当两个数互质时，它们乘积的欧拉函数值等于各自欧拉函数值的乘积。欧拉函数在数学中有广泛应用，特别是在 RSA 密码学算法中起关键作用，在数论的同余理论中也很重要，还与著名的欧拉定理密切相关。这个表格展示了前十个正整数的欧拉函数值。
让我们总结一下欧拉函数的要点。欧拉函数 phi(n) 用于计算小于等于 n 且与 n 互质的正整数个数。互质的概念是指两个数的最大公约数为 1。欧拉函数具有积性性质，并且有多种实用的计算公式。它在现代密码学特别是 RSA 算法中发挥重要作用，同时也是数论研究中的基础工具。掌握欧拉函数对于理解现代数学和计算机科学都非常重要。