二次函数和抛物线是紧密相关的概念。简单来说，二次函数的图像就是抛物线。一个标准的二次函数可以表示为 y 等于 a x 的平方加 b x 加 c，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于零。当我们将这个函数在平面直角坐标系中绘制出来时，得到的图形就是一条抛物线。
系数 a 对抛物线的形状有重要影响。首先，a 决定了抛物线的开口方向。当 a 大于零时，抛物线开口向上，呈现 U 形；当 a 小于零时，抛物线开口向下，呈现倒 U 形。其次，a 的绝对值大小决定了抛物线的宽度。绝对值越大，抛物线越窄；绝对值越小，抛物线越宽。
抛物线有几个重要的关键特征。首先是顶点，它是抛物线的最高点或最低点。顶点坐标可以用公式计算：横坐标是负 b 除以 2a，纵坐标是 4ac 减 b 的平方，再除以 4a。其次是对称轴，它是通过顶点的垂直线，方程为 x 等于负 b 除以 2a。最后是与坐标轴的交点，与 y 轴的交点坐标是零逗号 c，与 x 轴的交点由判别式决定。
二次函数有三种常用的表达形式。第一种是一般式，y 等于 a x 的平方加 b x 加 c，这种形式易于找到 y 轴截距。第二种是顶点式，y 等于 a 乘以 x 减 h 的平方加 k，其中 h 逗号 k 是顶点坐标，这种形式直接显示顶点位置。第三种是交点式，y 等于 a 乘以 x 减 x1 乘以 x 减 x2，其中 x1 和 x2 是与 x 轴的交点，这种形式直接显示 x 轴截距。
总结一下我们学到的内容：二次函数的图像就是抛物线，它们是同一个数学概念的两种表达方式。系数 a 决定了抛物线的开口方向和宽度。顶点和对称轴是抛物线的关键特征，帮助我们理解函数的性质。二次函数的三种表达形式各有优势，在不同情况下使用。总之，二次函数和抛物线相互描述、密不可分，是数学中重要的基础概念。