以资深数学教师的身份解析本填空题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---19. 用定积分计算圆 $x^2+y^2=a^2$ $(a>0)$ 的面积.

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同学们好！今天我们来挑战一个经典问题：用定积分来计算圆的面积。虽然圆的面积公式π r平方我们早就熟悉了，但用微积分的方法重新计算，会有不一样的感受。我们的圆方程是x平方加y平方等于a平方，这是一个以原点为圆心，半径为a的圆。 现在我们来分析如何用定积分计算圆的面积。利用圆的对称性，我们可以将圆分为上下两个半圆。上半圆的方程是y等于根号下a平方减x平方，下半圆的方程是y等于负根号下a平方减x平方。由于对称性，我们只需要计算四分之一圆的面积，然后乘以4即可。 现在我们使用三角换元法来求解这个积分。令x等于a乘以sin θ，那么dx等于a乘以cos θ dθ。同时，根号下a平方减x平方就等于a乘以cos θ。当x从0变化到a时，θ从0变化到π/2。这样原积分就转化为a平方乘以cos平方θ的积分。 现在我们来完成积分计算。利用cos平方θ等于二分之一乘以1加cos2θ的恒等式，我们可以将积分转化。计算后得到四分之一圆的面积是π a平方除以4。因此整个圆的面积是4倍，即π a平方。这就验证了我们熟悉的圆面积公式！ 通过这个例子，我们看到了定积分的强大威力。我们利用三角换元法和对称性，成功地用微积分方法计算出了圆的面积，验证了经典的几何公式。这展现了数学不同分支之间的美妙联系，也让我们更深刻地理解了积分的几何意义。