请讲解函数题---**Extraction Content:**
**Title:**
例 3 一次函数图像旋转 45°
(Example 3: Rotation of the graph of a linear function by 45°)
**Question Stem:**
(1) 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数 y=2x-1 的图像分别交 x, y 轴于点 A, B, 将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 45°, 交 x 轴于点 C, 则直线 BC 的函数表达式是.
(As shown in the figure, in a Cartesian coordinate system, the graph of the linear function y=2x-1 intersects the x-axis and y-axis at points A and B respectively. Rotate the line AB clockwise around point B by 45°, intersecting the x-axis at point C. Then the function expression for the line BC is.)
**Options:**
A. y = -(1/3)x + 1
B. y = -(1/3)x - 1
C. y = (1/3)x + 1
D. y = (1/3)x - 1
**Diagram Description:**
* **Type:** Cartesian coordinate system with lines and labeled points.
* **Coordinate Axes:** Horizontal x-axis pointing right, vertical y-axis pointing up, origin O at their intersection.
* **Points:**
* B: Labeled with coordinates (0,1) on the positive y-axis.
* A: Labeled with coordinates (1/2, 0) on the positive x-axis.
* C: A point on the positive x-axis to the right of A.
* **Lines:**
* Line AB: A straight line passing through points A and B.
* Line BC: A straight line passing through points B and C.
* **Angle:** An angle of 45° is marked near point B between line AB and line BC, indicating a clockwise rotation from AB to BC.
* **Labels:** Axes labeled x and y, origin labeled O, points A, B, C labeled. Coordinates (1/2, 0) and (0,1) are labeled next to points A and B respectively. The 45° rotation angle is labeled.
**Note:** The diagram's labeled points A(1/2, 0) and B(0,1) correspond to the line y=-2x+1, while the question states the function is y=2x-1, which intersects the x-axis at A(1/2, 0) and the y-axis at B(0, -1).
**Other Relevant Text (Handwritten):**
* 一次 (Linear function) - written near the equation y=2x-1 in the question stem.
* 一次 (Linear) - written near the diagram.
* 只要通过某个点 (As long as it passes through a certain point) - written below the options.
* 设 y=kxtb (Let y=kx+b) - written below the options.
* ck to (possibly incomplete) - written below the options.
视频信息
答案文本
视频字幕
今天我们来解决一个关于一次函数图像旋转的问题。已知一次函数 y 等于 2x 减 1 的图像分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 B。现在将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 45 度，交 x 轴于点 C。我们需要求出直线 BC 的函数表达式。
首先我们需要确定关键点的坐标。对于一次函数 y 等于 2x 减 1，我们来找它与坐标轴的交点。与 x 轴的交点 A：令 y 等于 0，得到 0 等于 2x 减 1，解得 x 等于二分之一，所以点 A 的坐标是二分之一逗号 0。与 y 轴的交点 B：令 x 等于 0，得到 y 等于 2 乘以 0 减 1 等于负 1，所以点 B 的坐标是 0 逗号负 1。
接下来我们使用斜率旋转公式来计算旋转后直线的斜率。原直线 AB 的斜率是 2。当一条直线绕某点顺时针旋转角度θ时，新斜率的计算公式是：k 撇等于 k 减 tan θ 除以 1 加 k 乘以 tan θ。这里θ等于 45 度，tan 45 度等于 1。代入公式得到：k BC 等于 2 减 1 除以 1 加 2 乘以 1，等于 1 除以 3。
现在我们来写出直线 BC 的方程。我们已知直线 BC 过点 B，坐标是 0 逗号负 1，斜率是三分之一。使用点斜式方程：y 减 y1 等于 k 乘以 x 减 x1。代入数值得到：y 减负 1 等于三分之一乘以 x 减 0，化简得 y 加 1 等于三分之一 x，最终得到 y 等于三分之一 x 减 1。对比选项，答案是 D。
总结一下解题步骤：首先找到一次函数与坐标轴的交点，确定关键点坐标。然后使用斜率旋转公式计算旋转后直线的新斜率。最后应用点斜式写出旋转后直线的方程。本题答案是 y 等于三分之一 x 减 1，选择 D。