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夹逼定理是数学分析中一个非常重要的定理，用于求解函数的极限。它的基本思想是：如果一个函数被夹在两个函数之间，而这两个函数在某点的极限相同，那么中间的函数在该点的极限也等于这个值。
使用夹逼定理求解函数极限有四个基本步骤。首先确定目标函数，然后构造合适的不等式，接着计算两侧函数的极限，最后应用定理得出结论。让我们通过一个经典例题来演示：求x乘以sin(1/x)当x趋于0时的极限。我们利用正弦函数的有界性，构造不等式负|x|小于等于目标函数小于等于|x|。
现在我们完整地求解这个极限问题。首先利用正弦函数的有界性，得到负1小于等于sin(1/x)小于等于1。然后两边同时乘以x，需要分情况讨论x的正负性，最终得到负|x|小于等于目标函数小于等于|x|。接下来计算两侧函数的极限，都等于0。最后应用夹逼定理，得出目标函数的极限也等于0。
夹逼定理还有许多其他重要应用。比如求sin n除以n当n趋于无穷时的极限，我们利用正弦函数的有界性构造不等式。另一个经典例子是sin x除以x当x趋于0时的极限，这是一个重要极限，结果等于1。使用夹逼定理的关键要点包括：构造合适的不等式、利用函数的有界性质、确保两侧极限相等，以及认识到它在数列和函数极限中的广泛应用。
通过本次学习，我们全面了解了夹逼定理的概念、应用步骤和典型例题。夹逼定理是求解函数极限的重要工具，其核心思想是利用不等式关系来确定极限值。掌握夹逼定理不仅能帮助我们解决复杂的极限问题，更有助于深入理解数学分析中极限的本质概念。