视频字幕
微积分是数学中研究变化率和累积的重要分支。它主要包括两个部分：微分学研究瞬时变化率，也就是导数；积分学研究累积量，也就是定积分。今天我们通过具体的物理例子来理解这两个概念。
现在我们看微分学的例子。假设一个物体的位置函数是 s(t) 等于 t 的平方加 3t，我们要求这个物体在 t 等于 2 秒时的瞬时速度。瞬时速度就是位置函数对时间的导数。计算导数得到 s'(t) 等于 2t 加 3。将 t 等于 2 代入，得到瞬时速度等于 7 米每秒。图中红色直线就是 t 等于 2 时刻的切线，它的斜率就是瞬时速度。
现在我们看积分学的例子。假设一个物体的速度函数是 v(t) 等于 2t，我们要求从 t 等于 0 到 t 等于 3 这段时间内物体运动的总路程。总路程等于速度函数在这个时间区间上的定积分。计算定积分：从 0 到 3 对 2t 积分，等于 t 的平方在 0 到 3 上求值，结果是 9 减 0 等于 9 米。图中黄色区域的面积就代表总路程，这是一个底为 3、高为 6 的三角形，面积确实是 9。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系。定理表明，一个函数的导数在某个区间上的积分，等于原函数在该区间端点的函数值之差。在我们的例子中，速度函数 2t 从 0 到 3 的积分等于位置函数 t 平方在端点的差值，即 9 减 0 等于 9。这说明微分和积分是互逆的运算，它们描述了同一个物理过程的不同方面。
通过这些例子，我们可以总结微积分的核心概念。微分学通过导数研究函数的瞬时变化率，帮助我们理解函数的局部性质。积分学通过定积分研究累积量，可以计算曲线下的面积或物体运动的总路程。微积分基本定理将这两个概念联系起来，表明微分和积分是互逆的运算。微积分不仅是数学的重要分支，在物理学、工程学、经济学等众多领域都有广泛的应用。