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杨辉三角是中国古代数学的重要成果，它是一个由数字组成的三角形阵列。这个三角形有着非常简单而优美的构造规则：最顶端和两边都是数字1，而内部的每个数字都等于它正上方两个数字的和。
让我们详细看看杨辉三角的构造过程。首先在顶端写下数字1，这是第0行。第1行两边都写1。从第2行开始，每个内部的数字都等于它正上方两个数字的和。比如第2行中间的2等于1加1，第3行的两个3分别等于1加2和2加1。这样我们就能逐行构造出完整的杨辉三角。
杨辉三角具有许多美妙的数学性质。首先，每一行数字的和都是2的幂次，比如第4行的和是16等于2的4次方。其次，三角形具有完美的对称性，左右两边完全相同。最重要的是，杨辉三角实际上就是组合数的排列，第n行第k个数字等于n选k的组合数。
杨辉三角在数学中有着广泛的应用。最著名的是在二项式定理中，杨辉三角的每一行恰好对应着二项式展开的系数。比如a加b的3次方展开后，系数1、3、3、1正好是杨辉三角第3行的数字。此外，它在概率论、组合数学、数论研究和算法设计中都有重要作用。
通过今天的学习，我们了解了杨辉三角的基本概念、构造方法、数学性质和实际应用。杨辉三角不仅展现了数学的对称美和规律性，更体现了中国古代数学家的智慧。它简单的构造规则背后蕴含着深刻的数学原理，在现代数学的各个分支中都有重要应用，是连接古代智慧与现代科学的桥梁。