把题目结果以动画的形式表现出来---**Problem Description:**
如图1,直线y=-x-3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax²-2x+c的图象经过点B,与x轴交于D、E两点(点D在点E左侧),且顶点C(1,m)也在直线AB上,P为抛物线上第四象限内一动点且不与点C重合.
**Diagrams Description:**
The image contains three coordinate plane diagrams, labeled 图1, 图2, and 图3. Each diagram shows the X-axis and Y-axis intersecting at the origin O.
* **图1:** Depicts a straight line intersecting the X-axis at point A and the Y-axis at point B. It also shows a parabola intersecting the Y-axis at B and the X-axis at points D and E, with D to the left of E. The vertex of the parabola is labeled as C. A point P is shown on the parabola in the fourth quadrant.
* **图2:** Shows the same setup as 图1, with additional line segments BD and BE. A line segment OP is drawn, intersecting BE at point F.
* **图3:** Shows the same setup as 图1 and 图2, but with a dashed vertical line representing the axis of symmetry of the parabola, passing through the vertex C. A point Q is added on the parabola. Line segment PQ is drawn, intersecting the axis of symmetry at point M. Line segments CP and CQ are also drawn.
**Questions:**
(1)求该抛物线的关系式;
(2)如图2,连接BD、BE,直线OP与BE相交于点F,若以E、O、F为顶点的三角形与△ABD相似,请求出点F的坐标;
(3)如图3,点Q也为抛物线一动点,连接PQ交抛物线对称轴于点M.若CP⊥CQ,点M是否是一定点?若是,请直接写出点M坐标;若不是,请说明理由.
视频信息
答案文本
视频字幕
我们来解决一个关于抛物线与直线交点的问题。已知直线 y 等于负 x 减 3 与坐标轴相交于 A、B 两点，抛物线 y 等于 a x 平方减 2x 加 c 经过点 B，顶点 C 的坐标为 (1, m) 且在直线 AB 上。我们需要求出抛物线的关系式。
现在我们来逐步求解抛物线的关系式。首先，从直线方程 y 等于负 x 减 3 可以求出与坐标轴的交点：A 点坐标为负 3 逗号 0，B 点坐标为 0 逗号负 3。接下来，由于抛物线经过点 B，将 B 点坐标代入抛物线方程可得 c 等于负 3。然后，由于顶点 C 在直线上，将 x 等于 1 代入直线方程得到 m 等于负 4。最后，将顶点坐标代入抛物线方程求得 a 等于 1。因此，抛物线的关系式为 y 等于 x 平方减 2x 减 3。
接下来我们解决第二个问题。连接 BD 和 BE，直线 OP 与 BE 相交于点 F。要使三角形 EOF 与三角形 ABD 相似。首先求出直线 BE 的方程为 y 等于 x 减 3。通过分析角度关系，发现角 OEF 等于角 DAB 等于 45 度。利用相似三角形的性质，边长比例相等，可以计算出 EF 等于根号 2。最终求解得到点 F 的坐标为 (2, -1)。
现在我们来探究第三个问题。点 Q 也是抛物线上的一个动点，连接 PQ 交抛物线的对称轴于点 M。如果 CP 垂直于 CQ，我们要探究点 M 是否为定点。首先建立垂直条件，即向量 CP 与向量 CQ 的数量积等于零。然后利用抛物线的性质，可以得到 (x_P 减 1) 乘以 (x_Q 减 1) 等于负 1 这个重要关系。接下来求出直线 PQ 与对称轴的交点坐标。经过复杂的代数运算和化简，我们发现点 M 确实是一个定点，坐标为 (1, -3)。
通过这道综合题的求解，我们得到了三个重要结果。第一，抛物线的关系式为 y 等于 x 平方减 2x 减 3。第二，在相似三角形问题中，点 F 的坐标为 (2, -1)。第三，在定点问题中，点 M 确实是定点，坐标为 (1, -3)。这道题综合运用了函数、几何、代数等多个知识点，充分体现了数形结合的数学思想，是一道很好的综合性问题。