解答该题---**Question Number:** 2 **Question Stem:** 设积分区域 D 是由曲线 $y = \sqrt{x}$, 直线 $y = 1$ 及 $y$ 轴围成, 则 $\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} e^{-y^2} dxdy = $ **Options:** (A) $1 + \frac{2}{e}$ (B) $1 - \frac{2}{e}$ (C) $1 - \frac{1}{e}$ (D) $1 + \frac{1}{e}$

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我们来解决这个二重积分问题。首先需要确定积分区域D。区域D由曲线y等于根号x、直线y等于1以及y轴围成。让我们在坐标系中画出这个区域。 现在我们来建立累次积分。根据积分区域的特点，我们选择先对x积分，再对y积分。对于固定的y值，x的范围是从0到y的平方。因此积分区域可以描述为：y从0到1，x从0到y的平方。 现在我们计算内部积分，也就是对x的积分。首先将e的负y平方次方视为常数提取出来，然后计算x的负二分之一次方的积分。x的负二分之一次方的不定积分是2倍根号x。代入上下限后得到2y乘以e的负y平方次方。 现在计算外部积分。我们需要计算从0到1的2y乘以e的负y平方次方对y的积分。使用换元法，设u等于y的平方，则du等于2y dy。当y等于0时u等于0，当y等于1时u等于1。积分变为从0到1的e的负u次方du。计算得到负e的负1次方减去负e的0次方，等于1减去e分之1。这就是最终答案，对应选项C。 总结一下这道二重积分题的解题步骤：首先确定积分区域，然后建立合适的累次积分，接着分别计算内部积分和外部积分，最终得到答案1减去e分之1，对应选项C。掌握这种方法对解决类似的二重积分问题很有帮助。