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同学们好！今天我们来解一道不定方程题目。题目是求74x加214y等于50的通解。这种只要求整数解的方程叫做不定方程。首先我们要检查方程是否有整数解，条件是74和214的最大公约数必须能整除50。我们用辗转相除法来求最大公约数。
同学们好！我是你们的数学老师。今天我们要解决一个不定方程：74x加214y等于50。这类问题需要用到欧几里得算法和数论知识。我们按照四个步骤来解决：首先求最大公约数，然后检查解的存在性，接着用欧几里得算法求特解，最后写出通解公式。
第一步，我们用欧几里得算法求74和214的最大公约数。214除以74等于2余66，74除以66等于1余8，66除以8等于8余2，8除以2等于4余0。因此最大公约数是2。
现在检查2能否整除50。50除以2等于25，能整除！这说明方程有整数解。接下来进行第二步，简化方程。我们把原方程两边同时除以最大公约数2，得到37x加107y等于25。这个简化后的方程与原方程有相同的整数解。
第三步，用扩展欧几里得算法求特解。我们从最后一步开始倒推：2等于66减8乘8，将8替换，得到2等于66乘9减74乘8，继续替换66，最终得到2等于214乘9减74乘26。两边除以2，得到1等于107乘9减37乘26。因此37乘负26加107乘9等于1。将系数乘以25，得到特解x0等于负650，y0等于225。
最后一步，写出通解公式。不定方程ax加by等于c的通解为：x等于x0加b除以最大公约数乘以t，y等于y0减a除以最大公约数乘以t。代入我们的数值，得到x等于负650加107t，y等于225减37t，其中t为任意整数。我们可以验证一下，取t等于6时，x等于负8，y等于3，代入原方程确实等于50。
现在检查2能否整除50。50除以2等于25，能整除！这说明方程有整数解。接下来进行第二步，简化方程。我们把原方程两边同时除以最大公约数2，得到37x加107y等于25。这个简化后的方程与原方程有相同的整数解。
第三步，用扩展欧几里得算法求特解。我们的目标是求37s加107t等于1的整数解。首先重新计算最大公约数：107等于37乘2加33，37等于33乘1加4，33等于4乘8加1，4等于1乘4加0。然后倒推：1等于33减4乘8，将4替换得到1等于9乘33减8乘37，继续替换33得到1等于9乘107减26乘37。因此37乘负26加107乘9等于1。将系数乘以25，得到特解x0等于负650，y0等于225。
最后一步，写出通解公式。不定方程ax加by等于c的通解为：x等于x0加b除以最大公约数乘以n，y等于y0减a除以最大公约数乘以n。代入我们的数值，得到x等于负650加107n，y等于225减37n，其中n为任意整数。为了得到更简洁的特解，我们取n等于6，得到x等于负8，y等于3。因此更优雅的通解形式是x等于负8加107n，y等于3减37n。验证一下：74乘负8加214乘3等于负592加642等于50，正确！