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常微分方程是数学中的重要概念。它是包含一个未知函数及其关于单个自变量的导数的方程。比如 dy dx 等于 2x，这里 y 是关于 x 的未知函数，方程包含了它的一阶导数。右边的图形显示了这个方程的一个解：y 等于 x 的平方。
常微分方程有三个基本组成要素。第一是未知函数，通常用 y(x) 表示，这是我们要求解的函数。第二是自变量，这里是 x，注意只有一个自变量。第三是导数，包括一阶导数、二阶导数等。这个例子展示了一个二阶常微分方程，包含了二阶导数、一阶导数和函数本身。
常微分方程的阶数是由方程中出现的最高阶导数来决定的。一阶常微分方程包含一阶导数，如 dy dx 等于 f(x,y)。二阶常微分方程包含二阶导数，如 d二次y dx二次 等于 f(x,y,y')。一般地，n阶常微分方程包含n阶导数。右边的图形展示了不同阶数方程解的特点。
常微分方程在现实世界中有广泛的应用。在物理学中用于描述运动和振动，在生物学中用于建立人口增长和传染病模型，在工程学中用于控制系统设计，在经济学中用于分析市场动态。以人口增长为例，方程 dP dt 等于 rP 描述了人口随时间的指数增长，其解为 P(t) 等于 P零乘以e的rt次方。
总结一下我们学到的内容：常微分方程是包含未知函数及其关于单个自变量的导数的方程。方程的阶数由最高阶导数决定。它由三个基本要素组成：未知函数、自变量和导数项。常微分方程在物理、生物、工程、经济等各个领域都有广泛应用，是数学建模和科学计算的重要工具。