解答這條問題---Integral expression: $\int \frac{\sqrt{\tan x} \cdot \ln(\sin x + \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} dx$ Formatted in plain text: Integral of (sqrt(tan(x)) * ln(sin(x) + cos(x))) / ((sin(x) + cos(x))^2) dx

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我們來分析這個複雜的積分問題。這個積分包含了根號正切函數、對數函數和三角函數的平方。被積函數的分子是根號正切乘以正弦加餘弦的對數，分母是正弦加餘弦的平方。這種形式的積分需要運用特殊的積分技巧來求解。 為了解決這個複雜積分，我們使用變數替換法。設 u 等於正弦 x 加餘弦 x。對 u 求導得到 du 等於餘弦 x 減正弦 x 乘以 dx。接下來建立重要關係：u 的平方等於正弦平方 x 加二倍正弦 x 餘弦 x 加餘弦平方 x，也就是一加二倍正弦 x 餘弦 x。這個替換將幫助我們簡化積分表達式。 現在我們將原積分進行轉換。首先將積分中的 u 替換進去，得到根號正切 x 乘以 ln u 除以 u 的平方 dx。接下來處理根號正切 x，它等於根號正弦 x 除以餘弦 x。利用我們之前建立的恆等式，正弦 x 餘弦 x 等於 u 平方減一除以二。通過這些轉換，我們將複雜的三角積分轉化為更容易處理的形式。 接下來我們嘗試使用分部積分法。分部積分的公式是 u dv 的積分等於 uv 減去 v du 的積分。我們選擇 u 等於正弦 x 加餘弦 x 的對數，dv 等於根號正切 x 除以正弦 x 加餘弦 x 的平方 dx。求導得到 du，而 v 需要計算一個複雜的積分。這個積分問題需要更高級的數學技巧才能完全解決。 總結一下我們對這個複雜積分的分析。這是一個極其複雜的積分問題，涉及根號正切函數、對數函數和三角函數的組合。我們嘗試了變數替換和分部積分等高級技巧，但完整的解答需要更深入的特殊函數理論。這類積分在高等數學研究中具有重要的理論意義。