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抛物线是一种重要的二次曲线。根据定义，抛物线是平面内到定点F（称为焦点）和定直线l（称为准线）距离相等的点的轨迹。图中红点F是焦点，绿色直线l是准线，蓝色曲线就是抛物线。对于抛物线上任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线l的距离。
为了简化推导过程，我们建立一个合适的坐标系。将抛物线的顶点放在原点O，对称轴设为x轴。设焦点F的坐标为(p/2, 0)，其中p是一个正数，称为焦准距。根据抛物线的定义，准线是垂直于对称轴的直线，其方程为 x = -p/2。这样，焦点到准线的距离正好等于p。
现在我们来应用距离公式。设抛物线上任意一点为P，坐标为(x, y)。根据两点间距离公式，点P到焦点F的距离PF等于根号下(x减p/2)的平方加y的平方。点P到准线的距离PD等于x加p/2的绝对值，这是点到直线的距离公式。图中红色线段表示PF，绿色线段表示PD。
现在开始推导抛物线的标准方程。根据抛物线的定义，PF等于PD。将距离公式代入，得到根号下(x减p/2)的平方加y的平方等于x加p/2的绝对值。两边平方消除根号，展开后消去相同项，移项整理，最终得到抛物线的标准方程：y的平方等于2px。这就是开口向右的抛物线标准方程。
总结一下抛物线标准方程的推导过程。首先明确抛物线的定义，即到定点和定直线距离相等的点的轨迹。然后建立合适的坐标系，将顶点放在原点，对称轴设为坐标轴。接着应用距离公式，分别计算点到焦点和点到准线的距离。最后根据定义列出方程并化简，得到抛物线的标准方程y的平方等于2px。这个推导过程体现了解析几何中用代数方法研究几何问题的思想。