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我们有一个正态分布问题。随机变量X服从正态分布N(2, σ²)，均值为2。给定条件是P(X小于1)乘以P(X大于3)等于四分之一。我们需要求P(1小于X小于2)的值。
利用正态分布的对称性来分析这个问题。正态分布关于均值对称，均值为2。点1和点3到均值2的距离都等于1，因此根据对称性，P(X小于1)等于P(X大于3)。
现在求解具体的概率值。设p等于P(X小于1)，由于对称性，P(X大于3)也等于p。根据已知条件，p乘以p等于四分之一，即p的平方等于四分之一，解得p等于二分之一。因此P(X小于1)等于二分之一。
最后计算P(1小于X小于2)。对于正态分布，P(X小于2)等于0.5，因为2是均值。我们已经求得P(X小于1)等于0.5。因此P(1小于X小于2)等于P(X小于2)减去P(X小于1)，即0.5减去0.5，结果为0。
总结一下解题过程：首先利用正态分布的对称性，确定P(X小于1)等于P(X大于3)。然后根据给定条件建立方程，求解得到P(X小于1)等于二分之一。最后计算目标概率P(1小于X小于2)等于0。需要注意的是，题目给定的条件在数学上存在矛盾。