什么是综合正态分布---深入探讨 x+y 和 x-y
x+y 概率分布细看
在研究综合正态变量的时候, 想办法求出 X+Y 的分布是十分有用的。如果独立随机变量 X 和 Y 符合正态分布, 那么 X+Y 也符合正态分布。另外, 你还可以使用 X 和 Y 的均值和方差计算 X+Y 的概率分布。
为了求出 X+Y 的均值和方差, 可以使用离散概率分布的相同计算公式, 即, 如果:
X ~ N(μ_x, σ_x²) 且 Y ~ N(μ_y, σ_y²)
则
X + Y ~ N(μ, σ²)
其中
μ = μ_x + μ_y
σ² = σ_x² + σ_y²
即, X + Y 的均值等于 X 的均值加上 Y 的均值, X + Y 的方差等于 X 的方差加上 Y 的方差。
记住: 如果两个变量互相不对对方的概率没有影响, 则这两个变量是独立随机。
如果 X 和 Y 是独立变量, 则可以使用这些简捷算法——这样子就好过多了。
查看以下草图, 注意到 X + Y 的方差的特点了吗?
**Diagram Description:**
* Type: Series of three probability distribution curves (Bell curves, representing normal distributions).
* Layout: Three curves arranged horizontally, separated by a '+' sign and an '=' sign, representing an addition operation.
* Curve 1 (Left): Represents X ~ N(μ_x, σ_x²).
* Shape: Bell curve.
* X-axis: Labeled with μ_x below the peak.
* Separator 1: A '+' sign.
* Curve 2 (Middle): Represents Y ~ N(μ_y, σ_y²).
* Shape: Bell curve.
* X-axis: Labeled with μ_y below the peak.
* Separator 2: An '=' sign.
* Curve 3 (Right): Represents X + Y ~ N(μ_x + μ_y, σ_x² + σ_y²).
* Shape: Bell curve. This curve appears flatter and wider than the first two curves.
* X-axis: Labeled with μ_x + μ_y below the peak.
* Overall Representation: Visually shows the addition of two independent normal distributions resulting in a new normal distribution whose mean is the sum of the means and whose variance is the sum of the variances. The wider third curve visually represents the larger variance (σ_x² + σ_y²).
X + Y 的方差大于 X 的方差, 也大于 Y 的方差, 这使得 X + Y 的曲线比 X 的曲线和 Y 的曲线都拉得长, 这一点对于任何正态 X 和 Y 都成立。在将两个变量相加之后, 实际上增大了变异性, 于是使得分布形状拉长; 随着图形拉长, 图形还会变得更扁, 这样才能使图形下方的总面积仍然为 1。
368 深入浅出统计学