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我们来分析五次方程 x 的五次方加 3x 加 3 等于零。这是一个五次多项式方程，让我们通过图像来观察函数 f(x) 等于 x 的五次方加 3x 加 3 的性质。
现在我们计算函数的导数。f 撇 x 等于 5x 的四次方加 3。由于 x 的四次方总是大于等于零，所以 5x 的四次方也大于等于零，因此 f 撇 x 等于 5x 的四次方加 3 恒大于零。这说明函数在整个实数域上严格单调递增。
由于函数严格单调递增，它最多只能与 x 轴相交一次。我们检验函数值：f 负一等于负一，f 零等于三。由于 f 负一小于零且 f 零大于零，根据中间值定理，在区间负一到零之间存在唯一的实根。
根据代数基本定理，五次方程在复数域内有五个根。由于方程系数都是实数，非实数根必须成对出现。因此，除了一个实根外，还有四个复共轭根，形成两对共轭对。根据阿贝尔-鲁菲尼定理，一般的五次方程没有用根式表示的解析解。
总结一下我们的分析：方程 x 的五次方加 3x 加 3 等于零是一个五次多项式方程。通过导数分析，我们发现函数严格单调递增，因此有且仅有一个实根。这个实根位于区间负一到零之间。另外四个根是复共轭根，成对出现。根据阿贝尔-鲁菲尼定理，这个方程没有用根式表示的解析解。