四元数是数学中一个重要的概念，它是复数的推广。四元数由一个实部和三个虚部组成，通常表示为 w 加 x i 加 y j 加 z k 的形式，其中 w、x、y、z 都是实数，而 i、j、k 是三个不同的虚部单位。
四元数的乘法规则是其核心特性。虚部单位满足 i 的平方等于 j 的平方等于 k 的平方等于 i j k 等于负一。具体的乘法规则是：i 乘 j 等于 k，j 乘 k 等于 i，k 乘 i 等于 j。而反向相乘则得到相反的结果。需要特别注意的是，四元数的乘法不满足交换律，这是它与实数和复数的重要区别。
四元数在三维图形学中最重要的应用是表示旋转。旋转四元数的形式是余弦二分之θ加正弦二分之θ乘以旋转轴向量，其中θ是旋转角度，x、y、z是单位旋转轴向量的分量。相比于欧拉角和旋转矩阵，四元数能够避免万向锁问题，并且在插值和组合旋转时计算效率更高。
四元数在现代科技中有着广泛的应用。在计算机图形学中，四元数用于处理三维旋转和动画；在机器人学中，用于控制机械臂的关节旋转；在航空航天领域，用于飞行器的姿态控制；在游戏开发中，用于角色和相机的旋转；在物理仿真中，用于模拟刚体的旋转运动。相比于欧拉角和旋转矩阵，四元数能够避免万向锁问题，提供更平滑的插值效果，占用更少的存储空间，并且在组合旋转时计算更加简单。
总结一下我们学到的内容：四元数是复数的推广，由一个实部和三个虚部组成。它的虚部单位满足特殊的乘法规则，并且乘法不满足交换律。四元数在表示三维旋转方面具有独特的优势，能够避免万向锁问题。它广泛应用于计算机图形学、机器人学、航空航天等领域，是现代三维编程和图形学中不可或缺的重要工具。