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斯托克斯公式是微分几何中的重要定理。它建立了向量场旋度在曲面上的面积分，与向量场沿曲面边界的线积分之间的关系。这个公式将三维空间中的面积分转化为边界上的线积分。
让我们详细解释斯托克斯公式中各个符号的含义。S表示一个光滑的定向曲面，∂S是曲面S的边界曲线。F是定义在空间中的向量场，∇×F表示向量场F的旋度。dS是曲面的面积元向量，其方向由曲面的定向决定。dr是边界曲线的线元向量。
从几何直观来理解斯托克斯公式。公式左边表示向量场旋度在曲面上的累积效应，就像曲面内部所有微小旋转的总和。公式右边表示向量场沿边界曲线的环流，即向量场沿着闭合路径的循环流动。斯托克斯公式告诉我们，这两个看似不同的物理量实际上是相等的。
斯托克斯公式在多个领域有重要应用。在电磁学中，它是法拉第电磁感应定律的数学基础，描述了磁通量变化与感应电动势的关系。在流体力学中，它揭示了涡量与环流之间的联系。在微分几何中，它是微积分基本定理在高维空间的推广。在数学分析中，它是格林公式向三维空间的扩展。
总结一下斯托克斯公式的要点。斯托克斯公式建立了向量场旋度的面积分与向量场沿边界的线积分之间的等价关系。它表明曲面内部向量场旋度的累积效应等于向量场沿边界的环流。这个公式是微积分基本定理在高维空间的重要推广，在电磁学、流体力学等领域有广泛应用，是现代数学物理中不可缺少的重要工具。