视频字幕
卡方分布是统计学中的重要概率分布。它描述了n个独立标准正态随机变量平方和的分布。卡方分布只有一个参数叫做自由度k，取值非负，期望值等于k，方差等于2k。图中显示了不同自由度下的卡方分布曲线。
卡方分布的概率密度函数由这个公式给出。其中x大于0，k是自由度参数，伽马函数Γ是阶乘函数的推广。让我们看看当自由度k从1变化到5时，分布形状如何变化。
卡方分布是这样构造的：首先取n个独立的标准正态随机变量，然后对每个变量求平方，最后将所有平方值相加。上图显示标准正态分布，下图显示对应的卡方分布。让我们看看当变量个数从1增加到5时的变化。
卡方分布在统计学中有广泛应用。主要用于卡方检验，包括拟合优度检验和独立性检验。还用于构建正态总体方差的置信区间和假设检验。图中显示了卡方检验的临界值和拒绝域，当统计量超过临界值时拒绝原假设。
总结一下我们学到的内容：卡方分布描述了标准正态变量平方和的分布，只有一个参数即自由度k，它决定了分布的形状。概率密度函数包含伽马函数和指数函数。卡方分布广泛应用于假设检验和置信区间构造，是统计推断中的重要工具。