문제 풀이 영상 만들어줄래?---**Question Number:** 30. **Question Stem:** 함수 $f(x) = e^{x+1} - 1$과 자연수 $n$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = 100|f(x)| - \sum_{k=1}^{n}{|f(x^k)|}$ 이라 하자. $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점] **Extracted Content:** * Function definition: $f(x) = e^{x+1} - 1$ * Variable: 자연수 (natural number) $n$ * Function definition: $g(x) = 100|f(x)| - \sum_{k=1}^{n}{|f(x^k)|}$ * Condition: $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 (g(x) is differentiable on the set of all real numbers) * Question: 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (Find the sum of all natural numbers n that satisfy the condition.) * Point Value: [4점] (4 points)

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함수 f(x) = e^{x+1} - 1과 g(x) = 100|f(x)| - 합 k=1부터 n까지 |f(x^k)|가 주어졌습니다. g(x)가 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 n의 합을 구해야 합니다. 먼저 f(x) = 0이 되는 점을 찾아보겠습니다. e^{x+1} - 1 = 0에서 x = -1입니다. 절댓값 함수의 미분가능성을 분석해보겠습니다. f의 도함수는 e^{x+1}이고, x = -1에서 f'(-1) = 1로 0이 아닙니다. 따라서 |f(u)|는 u = -1에서 미분가능하지 않습니다. |f(x^k)|가 미분불가능한 점은 x^k = -1일 때이며, 이는 k가 홀수일 때 x = -1에서 발생합니다. x = -1에서 g(x)의 미분가능성을 조사합니다. 좌미분계수는 -100 + 홀수 k들의 합이고, 우미분계수는 100 - 홀수 k들의 합입니다. 미분가능하려면 이 둘이 같아야 하므로, 2배 홀수 k들의 합이 200이 되어야 합니다. 따라서 홀수 k들의 합이 100이어야 합니다. 연속된 홀수의 합 공식을 사용합니다. 1부터 시작하는 m개의 홀수의 합은 m의 제곱입니다. 홀수들의 합이 100이므로 m = 10입니다. n 이하의 홀수 개수는 n을 2로 나눈 값의 올림이므로, 9 < n/2 ≤ 10에서 18 < n ≤ 20입니다. 따라서 n = 19, 20입니다. 정리하면 다음과 같습니다. f(x) = 0이 되는 점 x = -1에서 미분가능성을 분석했습니다. |f(x^k)|는 k가 홀수일 때만 x = -1에서 미분불가능합니다. g(x)가 미분가능하려면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하고, 이로부터 홀수들의 합이 100이어야 함을 얻었습니다. 따라서 n = 19, 20이고, 답은 19 + 20 = 39입니다.