视频字幕
积分是微积分中的重要概念，它是微分的逆运算。积分主要用于求解函数的原函数和计算曲线下的面积。积分分为两种：不定积分和定积分。不定积分用于求原函数，结果是一个函数族；定积分用于求面积，结果是一个确定的数值。
不定积分是求原函数的过程。给定一个函数f(x)，我们要寻找另一个函数F(x)，使得F(x)的导数等于f(x)。不定积分的符号是积分号加上dx。结果不是单一函数，而是一个函数族，包含积分常数C。例如，2x的不定积分是x的平方加C。图中蓝色曲线族表示所有可能的原函数，红色直线是它们共同的导数。
定积分计算函数在特定区间上的积分值。它表示函数图像与x轴围成的有向面积。定积分的符号包含上下限a和b。结果是一个确定的数值，而不是函数。我们可以用黎曼和的概念理解定积分，将区间分成许多小矩形，当矩形数量趋于无穷时，矩形面积之和就是定积分的值。利用牛顿-莱布尼茨公式，定积分等于原函数在上限的值减去在下限的值。
微积分基本定理是连接不定积分和定积分的重要桥梁。它告诉我们，定积分可以通过求原函数在上下限的差值来计算。如果F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么从a到b的定积分就等于F(b)减去F(a)。这里的积分常数C会在相减过程中抵消掉。例如，计算x平方从1到3的定积分，我们先找到原函数x立方除以3，然后计算F(3)减去F(1)，得到26/3。
让我们总结一下定积分和不定积分的要点。不定积分是求原函数的过程，结果是一个包含积分常数C的函数族。定积分是计算函数在特定区间上的积分值，结果是一个确定的数值，通常表示面积。微积分基本定理将两者联系起来，告诉我们定积分可以通过原函数在上下限的差值来计算。积分作为微分的逆运算，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。