解答一下这道题---19(3). 在三角形ABC中, 设 $\lambda = \frac{a+b}{c}$, 求 $f(\lambda), g(\lambda)$ 的表达式, 使得: (i) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} = f(\lambda)$; 3分 (ii) $\frac{\cos A + \cos B + g(\lambda)}{\cos A \cos B g(\lambda)}$ 为定值。4分

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我们来解决一个关于三角形的参数问题。在三角形ABC中，定义参数λ等于a加b除以c。我们需要找到函数f和g的表达式，使得正切A二分之一乘以正切B二分之一等于f(λ)，以及第二个条件中的表达式为定值。 现在我们来求解f(λ)的表达式。首先利用半角公式，正切A二分之一等于r除以s减a，正切B二分之一等于r除以s减b。其中r是内切圆半径，s是半周长。计算它们的乘积，得到r的平方除以(s减a)乘以(s减b)。利用海伦公式，r等于面积除以s，最终可以化简得到(s减c)除以s。 现在我们用λ来表示f(λ)。从λ的定义可知a加b等于λc。将此代入半周长公式，得到s等于c乘以(λ加1)除以2。计算s减c，得到c乘以(λ减1)除以2。因此f(λ)等于(s减c)除以s，化简后得到(λ减1)除以(λ加1)。 现在求解g(λ)使表达式为定值。利用余弦定理表示cos A和cos B，计算它们的和。通过分析发现，当g(λ)等于1时，原表达式化简为2除以cos C，这是一个与λ无关的定值。因此g(λ)等于1。 综合以上分析，我们得到了本题的最终答案。第一问：f(λ)等于(λ减1)除以(λ加1)。第二问：g(λ)等于1。当g(λ)等于1时，给定的表达式化简为2除以cos C，这是一个与参数λ无关的定值，满足题目要求。