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四点共面定理是立体几何中的重要定理，用于判断空间中的四个点是否位于同一个平面上。当四个点A、B、C、D共面时，意味着存在一个平面能够同时包含这四个点。
四点共面定理的数学表述是：四个点A、B、C、D共面，当且仅当向量AD可以表示为向量AB和向量AC的线性组合。也就是说，存在实数x和y，使得向量AD等于x倍的向量AB加上y倍的向量AC。这里要求A、B、C三点不共线，这样向量AB和AC才能确定一个平面。
四点共面定理还有一个等价的判定方法，就是使用向量的混合积。四个点A、B、C、D共面，当且仅当向量AB叉乘向量AC，再点乘向量AD的结果等于零。这个混合积的几何意义是三个向量构成的平行六面体的体积。当四点共面时，这个体积为零，说明三个向量都在同一个平面内。
让我们通过一个具体的例子来验证四点共面定理。设四个点A坐标为(1,0,0)，B为(0,1,0)，C为(0,0,1)，D为(1,1,1)。首先计算三个向量：向量AB等于(-1,1,0)，向量AC等于(-1,0,1)，向量AD等于(0,1,1)。然后计算向量AB叉乘向量AC得到(1,1,1)，再与向量AD做点积得到2，不等于零。因此这四个点不共面。
总结一下四点共面定理的要点：首先，它是判断空间中四个点是否位于同一平面的重要数学工具。其次，我们学习了两种判定方法：线性组合法和混合积法。线性组合法要求向量AD能够表示为向量AB和向量AC的线性组合，而混合积法则要求三个向量的混合积等于零。这个定理在立体几何、解析几何和向量代数中都有广泛的应用。