以资深中国数学教师的身份解析本填空题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---**Question Stem:** The image shows a mathematical expression: ``` | x y 0 0 | | 0 x y 0 | | 0 0 x y | | y 0 0 x | ``` followed by `= ______ .` This represents the calculation of a 4x4 determinant. The question asks for the value of this determinant. **Mathematical Expression:** The determinant is given by: det([[x, y, 0, 0], [0, x, y, 0], [0, 0, x, y], [y, 0, 0, x]])

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同学们好！作为你们的数学老师，今天我们要解决一个特殊的四阶行列式问题。看这个行列式，它有很多零元素，这正是我们简化计算的绝佳机会！让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！ 现在我们开始计算！对于这个四阶行列式，我们选择按第一行展开。为什么呢？因为第一行有两个零元素，这样可以让我们的计算变得简单很多！按第一行展开，我们只需要计算 x 乘以它的余子式，减去 y 乘以它的余子式。 现在我们来计算第一个余子式 M 一一。去掉第一行第一列后，我们得到一个三阶矩阵。看！这是一个上三角矩阵，对角线下方全是零。上三角矩阵的行列式计算非常简单，就是对角线元素的乘积，也就是 x 乘以 x 乘以 x 等于 x 的三次方。所以第一项就是 x 乘以 x 的三次方，等于 x 的四次方。 现在计算第二个余子式 M 一二。去掉第一行第二列后，我们得到一个新的三阶矩阵。这次我们按第一列展开，因为第一列有两个零元素。展开后只剩下 y 乘以一个二阶行列式。这个二阶行列式等于 y 的平方减去零，也就是 y 的平方。所以 M 一二等于 y 乘以 y 的平方，等于 y 的三次方。第二项就是负 y 乘以 y 的三次方，等于负 y 的四次方。 现在我们来做最后的总结！第一项是 x 的四次方，第二项是负 y 的四次方。把这两项加起来，原行列式的值就等于 x 的四次方减去 y 的四次方。太棒了！我们成功解决了这个四阶行列式问题。关键就是利用矩阵中的零元素来简化计算，这是解决行列式问题的重要技巧！