以资深中国数学教师的身份解析本填空题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语言风趣幽默，深入浅出。---Question Stem: $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} =$ _______ . Other Relevant Text: None. Chart/Diagram Description: Not applicable (the image contains a mathematical expression).

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同学们好！今天我们来解决一个有趣的极限问题。当x趋近于0时，x减去sin x除以x的三次方等于多少呢？首先观察分子分母的趋势。当x趋近于0时，分子x减去sin x趋近于0减去0等于0，分母x的三次方也趋近于0。这就是典型的0比0型不定式，需要使用洛必达法则来求解。 现在开始第一次使用洛必达法则。对分子x减去sin x求导，得到1减去cos x。对分母x的三次方求导，得到3x的平方。所以新的极限变为1减去cos x除以3x的平方。让我们再次检查：当x趋近于0时，分子1减去cos 0等于1减1等于0，分母3乘以0的平方等于0。看来还是0比0型不定式，需要继续使用洛必达法则。 欢迎来到极限填空题的解题课堂！今天我们要解决这个经典问题：当x趋近于0时，x减去sin x除以x的三次方的极限值。首先让我们检查一下，当x等于0时，分子x减去sin x等于0减去0等于0，分母x的三次方等于0的三次方等于0。看！这是一个典型的0比0型不定式，正是洛必达法则大显身手的时候！ 现在开始第一次使用洛必达法则！对分子x减去sin x求导，得到1减去cos x。对分母x的三次方求导，得到3x的平方。所以新的极限变为1减去cos x除以3x的平方。让我们检查一下：当x趋近于0时，分子1减去cos 0等于1减去1等于0，分母3乘以0的平方等于0。哎呀，又是0比0型！这个极限很顽固呢，我们需要继续使用洛必达法则。 继续第二次使用洛必达法则。对分子1减去cos x求导，得到sin x。对分母3x的平方求导，得到6x。所以新的极限变为sin x除以6x。让我们再次检查：当x趋近于0时，分子sin 0等于0，分母6乘以0等于0。天哪，又是0比0型不定式！看来这个极限很顽强，我们需要第三次使用洛必达法则。 第三次也是最后一次使用洛必达法则！对分子sin x求导，得到cos x。对分母6x求导，得到常数6。所以新的极限变为cos x除以6。太好了！这次我们可以直接代入x等于0了：cos 0除以6等于1除以6。经过三次洛必达法则的运用，我们终于得到了最终答案：六分之一！ 让我们总结一下这道经典极限题的解法。原题是一个零比零型不定式，我们运用了三次洛必达法则。第一次求导得到1减cos x除以3x平方，第二次求导得到sin x除以6x，第三次求导得到cos x除以6，最终答案是六分之一。这道题告诉我们，面对复杂的极限问题要有耐心，洛必达法则是解决不定式的强有力工具。 第三次也是最后一次使用洛必达法则！对分子sin x求导，得到cos x。对分母6x求导，得到常数6。所以新的极限变为cos x除以6。太好了！这次我们可以直接代入x等于0了：cos 0除以6等于1除以6。经过三次洛必达法则的运用，我们终于得到了最终答案：六分之一！ 让我们总结一下这道经典极限题的解法。原题是一个零比零型不定式，我们运用了三次洛必达法则。第一次求导得到1减cos x除以3x平方，第二次求导得到sin x除以6x，第三次求导得到cos x除以6，最终答案是六分之一。这道题告诉我们，面对复杂的极限问题要有耐心，洛必达法则是解决不定式的强有力工具。