以资深中国数学教师的身份解析本填空题答案，不允许出错，图文并茂，用不同的颜色标注，语速稍缓，幽默风趣，深入浅出。---13| 函数 y = sin^n x cos nx, 则 dy/dx = ______.

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同学们好！今天我们来看一道有趣的求导题。函数 y 等于 sin 的 n 次方乘以 x，再乘以 cos nx。别看它长得复杂，其实是个纸老虎！这个函数是两部分的乘积：第一部分是 sin 的 n 次方 x，第二部分是 cos nx。遇到乘积求导，我们想到什么法则？对啦！乘积法则！乘积法则告诉我们，u 乘以 v 的导数等于 u 的导数乘以 v，加上 u 乘以 v 的导数。 现在我们分头击破，求出各部分的导数。第一步，求 u 的导数，也就是 sin 的 n 次方 x 的导数。这需要用到链式法则，就像剥洋葱一样，一层一层来！外层是幂函数，导数是 n 倍的 sin x 的 n 减 1 次方。内层是 sin x，导数是 cos x。所以 u 的导数等于 n 倍 sin 的 n 减 1 次方 x 乘以 cos x。第二步，求 v 的导数，也就是 cos nx 的导数。同样用链式法则，外层 cos 的导数是负 sin，内层 nx 的导数是 n。所以 v 的导数等于负 n sin nx。 现在我们套用乘积法则公式。y 的导数等于 u 的导数乘以 v，加上 u 乘以 v 的导数。把我们求出的结果代入，得到 n sin 的 n 减 1 次方 x cos x 乘以 cos nx，减去 n sin 的 n 次方 x 乘以 sin nx。接下来整理化简，提取公因子 n sin 的 n 减 1 次方 x。括号里是 cos x cos nx 减去 sin x sin nx。慧眼识珠！这正是两角和的余弦公式！cos A 加 B 等于 cos A cos B 减去 sin A sin B。所以括号里等于 cos 括号 x 加 nx 括号，也就是 cos 括号 n 加 1 乘以 x。最终答案是 n sin 的 n 减 1 次方 x 乘以 cos 括号 n 加 1 乘以 x。 同学们，让我们总结一下这道题的解题思路。首先，识别函数结构，发现是乘积形式，选择乘积法则。然后分别求导，运用链式法则求出各部分的导数。接着套用公式，将结果代入乘积法则。关键是要巧用恒等式，发现并应用三角恒等式进行化简。最终得到答案：n sin 的 n 减 1 次方 x 乘以 cos 括号 n 加 1 乘以 x。记住，熟练掌握求导法则和三角恒等式是解决这类问题的关键！