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傅里叶变换是数学和工程学中的一个重要概念。它能够将一个复杂的信号分解成多个简单的正弦波和余弦波的组合。这里我们看到一个复合信号，它实际上是由多个不同频率的正弦波叠加而成的。
现在让我们看看如何将复合信号分解成基本的频率分量。这个复合信号实际上由三个正弦波组成：基础频率的正弦波，三倍频率的正弦波，以及五倍频率的正弦波。每个分量都有不同的幅度，当它们叠加在一起时，就形成了我们之前看到的复杂波形。
傅里叶变换的结果是频域表示，也就是频谱图。在这个图中，横轴表示频率，纵轴表示幅度。每个峰值对应原信号中的一个频率分量。我们可以看到三个峰值，分别对应基础频率f、三倍频率三f和五倍频率五f。峰值的高度表示该频率分量的强度。
傅里叶变换的数学公式看起来复杂，但其核心思想很简单。连续傅里叶变换将时域函数f(t)转换为频域函数F(ω)，其中ω是角频率。公式中的复数指数函数e的负i ω t次方是关键，它将信号与不同频率的复数正弦波进行相关性计算。逆变换则可以从频域恢复原始的时域信号。
傅里叶变换在现代科学技术中有着广泛的应用。在信号处理领域，它用于音频压缩和噪声滤除。在图像处理中，帮助进行图像增强和特征提取。通信系统依靠它进行调制解调和频谱分析。在物理学中，从量子力学到光学分析都离不开傅里叶变换。工程学中的振动分析和系统设计也大量使用这一工具。