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我们需要求解这个不定积分。分子包含反正弦函数和对数函数，分母是根号x。解题的关键是将积分拆分成两部分，分别处理反正弦项和对数项。
现在处理第一部分积分。我们使用换元法，令u等于根号x，则du等于dx除以2倍根号x。这样原积分就变成了2倍的反正弦u的积分。接下来我们用分部积分法来处理。
使用分部积分公式，我们得到反正弦u的积分等于u乘以反正弦u减去u除以根号1减u平方的积分。对第二个积分再次换元，令t等于1减u平方，最终得到第一部分的积分结果。
现在处理第二部分积分，对数x除以根号x的积分。我们再次使用分部积分法，令u等于对数x，dv等于x的负二分之一次方dx。计算得到du和v后，应用分部积分公式，最终得到第二部分的积分结果。
现在我们将两部分的积分结果相加得到最终答案。第一部分给出了2倍根号x乘以反正弦根号x加上2倍根号1减x，第二部分给出了2倍根号x乘以对数x减去4倍根号x。合并后得到完整的不定积分结果。