对于非空数集 S, T = { |x - y| | x, y ∈ S }, 若 T = S, 则称数集 S 具有性质 M. (1) 若数集 S 具有性质 M, 证明: 0 ∈ S ; 判断 S₁ = {0, 1, 2, 3}, S₂ = {0, 1, 2, 5} 是否具有性质 M, 并说明理由. (2) 若 S = {a₁, a₂, a₃, ···, a_n} (n ≥ 3) 满足 ① a₁ = 0 ; ② ∀ i, j ∈ N*, 当 i < j 时, 都有 aᵢ < aⱼ. (i) 判断 “数集 S 具有性质 M” 是否是 “数列 {a_n} 为等差数列” 的充要条件, 并说明理由 ; (ii) 已知数集 S 具有性质 M 且 a_n = 10a₂, A ⊆ S, 求数集 A 具有性质 M 的概率.

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今天我们来学习一个特殊的数集性质。对于非空数集S，我们定义T为S中任意两个元素差的绝对值组成的集合。如果T等于S，我们就说数集S具有性质M。让我们通过一个简单的例子来理解这个概念。 现在我们来证明一个重要性质：如果数集S具有性质M，那么零一定属于S。证明很简单：对于S中任意元素x，x减去x的绝对值等于零，所以零属于T。由于T等于S，因此零属于S。 现在我们来判断两个具体的数集是否具有性质M。对于S1等于零一二三，计算所有差的绝对值得到T1也等于零一二三，所以S1具有性质M。对于S2等于零一二五，计算得到T2等于零一二三四五，由于T2不等于S2，所以S2不具有性质M。 现在我们探讨性质M与等差数列的关系。首先证明必要性：如果数列是等差数列，那么数集S确实具有性质M。但充分性不成立，即使S具有性质M，数列也不一定是等差数列。例如集合零一三四，虽然看起来有规律，但它不具有性质M，因此性质M不是等差数列的充要条件。 让我们总结今天学习的关键要点。性质M定义为差集等于原集合。具有性质M的数集必定包含零元素。通过具体例子验证了判断方法。性质M与等差数列有联系但不是充要条件。这些概念在数学分析中有重要应用。