对于非空数集 S, T = { |x - y| | x, y ∈ S }, 若 T = S, 则称数集 S 具有性质 M. (1) 若数集 S 具有性质 M, 证明: 0 ∈ S ; 判断 S₁ = {0, 1, 2, 3}, S₂ = {0, 1, 2, 5} 是否具有性质 M, 并说明理由. (2) 若 S = {a₁, a₂, a₃, ···, a_n} (n ≥ 3) 满足 ① a₁ = 0 ; ② ∀ i, j ∈ N*, 当 i < j 时, 都有 aᵢ < aⱼ. (i) 判断 “数集 S 具有性质 M” 是否是 “数列 {a_n} 为等差数列” 的充要条件, 并说明理由 ; (ii) 已知数集 S 具有性质 M 且 a_n = 10a₂, A ⊆ S, 求数集 A 具有性质 M 的概率.

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今天我们来学习数集的性质M。对于非空数集S，我们定义T为S中任意两元素差的绝对值构成的集合。如果T等于S，则称数集S具有性质M。让我们通过两个例子来理解这个概念。 现在我们来证明一个重要性质：如果数集S具有性质M，那么零一定属于S。证明过程如下：设S是非空数集且具有性质M，根据定义T等于S。因为S非空，存在元素x属于S。取相同元素x，则x减x的绝对值等于零，所以零属于T。又因为T等于S，所以零属于S。 现在我们证明一个重要的充要条件：数集S具有性质M当且仅当数列a_n为等差数列。充分性：如果数列是等差数列，公差为d，那么S等于零、d、二d到n减一d。任意两元素差的绝对值仍在这个集合中，所以T等于S。必要性：如果S具有性质M，通过分析差集的结构，可以证明相邻项的差必须是常数，因此是等差数列。 最后我们计算概率。已知S具有性质M且a_n等于10倍a_2。由于S是等差数列，a_n等于n减1倍d等于10d，所以n等于11。S有11个元素。对于子集A具有性质M，A必须包含0且为等差数列。通过分析不同元素个数m和公差k的组合，满足条件的子集共有28个。非空子集总数为2的11次方减1等于2047。因此概率为28除以2047。 总结一下我们学到的内容：性质M定义为差集等于原集合。具有性质M的数集必定包含零。性质M等价于数列为等差数列的条件。通过组合分析可以计算满足条件的子集概率。最终答案是28除以2047。