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微分的本质是线性逼近。当我们说微分dy等于f撇x乘以dx时，我们实际上是在用切线的增量来近似函数的真实增量。图中绿色虚线表示微分dy，橙色虚线表示函数的实际增量。当dx很小时，这两者非常接近。
高阶导数为我们提供了函数性质的更深层信息。二阶导数告诉我们函数的凹凸性：当二阶导数大于零时，函数凹向上；当二阶导数小于零时，函数凹向下。二阶导数为零的点可能是拐点，即凹凸性发生改变的地方。
泰勒公式是微分学的重要应用，它利用函数在某点的各阶导数信息来构造多项式逼近。图中蓝色曲线是原函数，红色、绿色、橙色分别是一阶、二阶、三阶泰勒多项式。可以看到，阶数越高，逼近效果越好，特别是在展开点附近。
多元函数微分学将微分概念推广到多个变量。偏导数描述函数沿各坐标轴方向的变化率，而梯度向量指向函数增长最快的方向。图中显示了一个二元函数的曲面，红点处的黄色箭头表示梯度方向，绿色和橙色线条分别表示沿x和y方向的偏导数。
总结一下微分学的深层知识点：微分的本质是线性逼近，为我们提供了理解函数局部行为的工具。高阶导数揭示了函数的凹凸性和变化趋势。泰勒公式让我们能用简单的多项式来逼近复杂函数。多元函数微分学则将这些概念推广到多变量情况，在优化、物理建模和工程计算中发挥重要作用。