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傅里叶变换是信号处理中最重要的数学工具之一。它能够将复杂的时间域信号分解为不同频率的正弦波成分。如图所示，一个复杂的绿色波形实际上是由蓝色的基础正弦波和红色的高频正弦波叠加而成的。
傅里叶变换的数学定义基于复指数函数。正变换将时间域函数f(t)转换为频率域函数F(ω)，而逆变换则将频率域函数还原为时间域函数。这个过程是完全可逆的，不会丢失任何信息。
傅里叶变换具有许多重要的数学性质。线性性表明变换是线性运算，时移性说明时域的平移对应频域的相位变化，而卷积定理是信号处理中最重要的性质，它将复杂的卷积运算转化为简单的乘法运算。
傅里叶变换在众多领域都有重要应用。在信号处理中，它用于滤波和频谱分析，能够去除噪声并提取有用信号。在医学成像中，MRI和CT扫描都依赖傅里叶变换重建图像。在通信系统中，它是调制解调的基础。
总结一下，傅里叶变换是现代科学技术中不可或缺的数学工具。它不仅帮助我们理解信号的频率特性，还为各种实际应用提供了理论基础。从手机通信到医学成像，从音频处理到图像压缩，傅里叶变换无处不在，是连接数学理论与工程实践的重要桥梁。