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我们来分析一个函数极值问题。已知函数 f(x) 等于 cos(ax) 减去 ln(1减x的平方)，如果 x等于0 是 f(x) 的极大值点，我们需要求出参数 a 的取值范围。这是一个典型的利用导数判断极值的问题。
首先确定函数的定义域。由于对数函数要求真数大于零，所以1减x的平方必须大于零，解得x的范围是负1到正1的开区间。接下来求一阶导数，f撇(x)等于负a乘以sin(ax)加上2x除以(1减x的平方)。将x等于0代入一阶导数，得到f撇(0)等于0，这对任意实数a都成立，说明x等于0总是函数的临界点。
接下来求二阶导数。对一阶导数求导，得到f双撇(x)等于负a的平方乘以cos(ax)加上商法则求导的结果。化简后得到f双撇(x)等于负a的平方乘以cos(ax)加上(2加2x的平方)除以(1减x的平方)的平方。要使x等于0是极大值点，必须满足f双撇(0)小于0。计算得到f双撇(0)等于负a的平方加2，因此需要负a的平方加2小于0，即a的平方大于2。
接下来分析边界情况。当a的平方等于2时，二阶导数判别法失效，需要用泰勒展开分析。通过计算发现，当a的平方等于2时，x等于0实际上是极小值点，不满足题意。因此，x等于0是极大值点的充要条件是a的平方大于2。解这个不等式，得到a的取值范围是负无穷到负根号2的并集加上根号2到正无穷。
总结一下解题过程：首先确定函数的定义域为负1到正1的开区间。然后求一阶导数并验证x等于0是临界点。接着利用二阶导数判断极值性质，得到a的平方大于2的条件。对于边界情况a的平方等于2，需要用泰勒展开进行分析。最终得到答案：a的取值范围是负无穷到负根号2的并集加上根号2到正无穷。