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快速傅里叶变换，简称FFT，是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。它能将时域信号转换为频域信号，揭示信号中包含的频率成分。传统DFT算法的计算复杂度是N的平方，而FFT算法将其降低到N乘以log N，大大提高了计算效率。
直接计算DFT存在严重的计算复杂度问题。对于N个数据点，每计算一个频率分量都需要N次复数运算，总共需要N的平方次运算。当数据量增大时，计算时间呈指数级增长。例如，处理1024个数据点就需要约100万次运算，这在实际应用中是不可接受的。
FFT算法的核心是分治策略。它将一个N点的DFT分解为两个N除以2点的DFT，然后递归地继续分解，直到达到最小的计算单元。通过这种分解，原本需要N平方次运算的问题被转化为N乘以log N次运算。例如，8点DFT从64次运算减少到24次运算，效率提升显著。
通过对比可以清楚看到FFT相对于传统DFT的巨大优势。随着数据量增加，DFT的计算时间呈平方增长，而FFT仅呈对数增长。当处理1024个数据点时，FFT比DFT快约100倍。这种效率提升使得实时信号处理和大规模数据分析成为可能，这就是为什么FFT在现代数字信号处理中如此重要的原因。
总结一下我们学到的内容：快速傅里叶变换通过分治策略，将DFT的计算复杂度从N的平方降低到N乘以log N，实现了巨大的效率提升。FFT广泛应用于音频处理、图像压缩、频谱分析等领域，使得实时信号处理和大规模数据分析成为可能。它是现代数字信号处理领域最重要的基础算法之一。