视频字幕
中轴线是二次函数图像的对称轴,它通过抛物线的顶点。对于二次函数y等于ax平方加bx加c,中轴线的方程是x等于负b除以2a。中轴线帮助我们找到函数的极值点,这对求解函数的值域非常重要。
当中轴线在定义域区间内部时,顶点也在定义域内。此时函数的极值就是顶点处的函数值。但我们还需要比较区间两个端点的函数值,才能确定整个区间上的最大值和最小值。例如函数f(x)等于x平方减2x加1在区间0到3上,中轴线x等于1在区间内,顶点值为0,端点值分别为1和4,所以值域是0到4。
当中轴线在定义域区间外部时,顶点不在定义域内,函数在整个区间上是单调的。此时函数的最大值和最小值只能在区间的两个端点处取得。例如函数f(x)等于x平方减2x加1在区间2到4上,中轴线x等于1在区间外,函数在此区间上单调递增,端点值分别为1和9,所以值域是1到9。
总结求二次函数在区间上值域的步骤:首先计算中轴线方程,然后判断中轴线与给定区间的位置关系。如果中轴线在区间内,需要计算顶点和端点的函数值;如果中轴线在区间外,函数单调,只需计算端点值。最后比较所有候选点的函数值,确定最大值和最小值,得出值域。中轴线是解决此类问题的关键工具。
通过学习中轴线在求范围问题中的应用,我们掌握了一个重要的解题工具。关键是要判断中轴线与定义域区间的位置关系,然后根据不同情况选择合适的方法。当中轴线在区间内时,需要考虑顶点和端点的函数值;当中轴线在区间外时,函数单调,只需比较端点值。掌握这个方法可以帮助我们快速准确地解决二次函数的值域问题。