我们需要求解一个约束优化问题。给定实数 x 和 y 满足方程 x 的平方加 y 的平方减 4x 减 2y 减 4 等于 0，求 x 减 y 的最大值。首先，我们将这个方程转化为标准形式来理解其几何意义。
现在我们通过配方法将原方程转化为圆的标准方程。首先对 x 项配方，x 的平方减 4x 等于 x 减 2 的平方减 4。然后对 y 项配方，y 的平方减 2y 等于 y 减 1 的平方减 1。将这些代入原方程，得到 x 减 2 的平方加 y 减 1 的平方等于 9。这表示一个圆心为 2 逗号 1，半径为 3 的圆。
现在我们用几何方法求解最值。设 x 减 y 等于 k，即 y 等于 x 减 k。这表示斜率为 1 的直线族。当直线与圆相切时，k 取得最值。圆心到直线 x 减 y 减 k 等于 0 的距离为 1 减 k 的绝对值除以根号 2。相切条件是距离等于半径 3，即 1 减 k 的绝对值除以根号 2 等于 3。解得 k 等于 1 加减 3 倍根号 2。
现在我们用代数方法验证结果。将 y 等于 x 减 k 代入圆的方程，得到关于 x 的一元二次方程。展开并整理后，得到 2x 的平方减 2k 加 6 倍 x 加 k 的平方加 2k 减 4 等于 0。方程有实数解的条件是判别式大于等于 0。计算判别式并化简，得到负 4k 的平方加 8k 加 68。令判别式大于等于 0，解得 k 的取值范围。因此 x 减 y 的最大值为 1 加 3 倍根号 2。
总结一下我们的解题过程。首先通过配方法将约束条件转化为圆的标准方程。然后利用几何意义，将目标函数 x 减 y 视为斜率为 1 的直线族。当直线与圆相切时，目标函数取得最值。通过计算圆心到直线的距离等于半径的条件，我们得到最终答案：x 减 y 的最大值为 1 加 3 倍根号 2。