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微分是微积分中的核心概念，用来研究函数在某一点的瞬时变化率。简单来说，微分描述了当输入变量有微小变化时，输出变量如何变化。在这个图中，我们可以看到一条曲线和一个点P。
当我们想要了解函数在点P处的变化率时，我们可以先画一条割线连接P点和附近的另一点。随着这个附近点越来越接近P点，割线的斜率就越来越接近切线的斜率，这就是微分的几何意义。
微分的数学定义基于极限概念。我们用这个公式来表示：f撇x等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)再除以h的极限值。这个公式表示当h趋近于0时，平均变化率的极限值。
在图形中，我们可以看到x点和x加h点之间的距离就是delta x，而函数值的变化就是delta f。当我们让h越来越小时，这个比值就越来越接近函数在x点的导数值。
微分的几何意义就是函数图像在某点处切线的斜率。切线斜率等于f撇x0。切线斜率越大，函数在该点变化越快；斜率越小，变化越慢。
让我们看看这个动态演示。当点在曲线上移动时，我们可以观察到切线的斜率在不断变化。在曲线较平缓的地方，切线斜率较小；在曲线较陡峭的地方，切线斜率较大。这就直观地展示了微分的几何意义。
现在让我们学习常见函数的微分法则。幂函数的微分法则是：x的n次方的导数等于n乘以x的n减1次方。常数的导数等于0。函数和的导数等于各函数导数的和。
让我们通过具体例子来看看这些法则的应用。首先是x的平方，它的导数是2x。然后是x的三次方，导数是3x的平方。最后是一次函数x，它的导数是常数1。蓝色曲线是原函数，红色曲线是它们的导数。
总结一下我们学到的微分核心要点：微分描述函数在某点的瞬时变化率，几何意义是函数图像在该点的切线斜率，数学定义基于极限概念的平均变化率，掌握基本微分法则可以求解各种函数的导数，微分是微积分的基础，在科学和工程中应用广泛。