请以资深中国数学教师的身份，解析本习题的答案：要求：不能出错，且讲解过程图文并茂，用不同的颜色标注风趣幽默，简单易懂。习题：“设A,B 都是n 阶矩阵，则正确的是 A. 若A²=A, 则A=0, 或 A=E B.|AB'|=|Al|B C.(A+B)²=A²+2AB+B² D. 若AX=AY, 且 A≠0, 则 X=γ “

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同学们好！今天我们来分析一道关于矩阵性质的选择题。题目给出了四个关于n阶矩阵A和B的命题，我们需要判断哪一个是正确的。让我们逐一分析每个选项，看看其中隐藏的数学原理。 首先分析选项A。这个选项说如果矩阵A的平方等于A本身，那么A只能是零矩阵或单位矩阵。但这是错误的！我们可以构造一个反例：矩阵A等于一零零零。计算A的平方，结果仍然是一零零零，等于A本身。这个矩阵既不是零矩阵，也不是单位矩阵，所以选项A是错误的。 接下来分析选项B。这个选项涉及行列式和矩阵转置的性质。根据行列式的基本性质，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，即XY的行列式等于X的行列式乘以Y的行列式。另外，矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式。因此，AB转置的行列式等于A的行列式乘以B转置的行列式，而B转置的行列式等于B的行列式，所以最终结果确实是A的行列式乘以B的行列式。选项B是正确的。 现在分析选项C和D。选项C看起来像完全平方公式，但矩阵乘法不满足交换律，所以AB通常不等于BA。正确的展开应该是A平方加AB加BA加B平方。选项D说如果AX等于AY且A不等于零，则X等于Y。这也是错误的，因为需要A可逆才能进行消去。我们可以用同样的矩阵A作为反例，取不同的向量X和Y，虽然AX等于AY，但X不等于Y。 通过逐一分析，我们得出正确答案是B。选项A关于幂等矩阵的结论过于绝对，选项C忽略了矩阵乘法不满足交换律，选项D缺少矩阵可逆的前提条件。只有选项B关于行列式的性质是完全正确的。这道题提醒我们，学习矩阵时不能完全照搬数字的运算规则，要特别注意矩阵特有的性质。