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卡尔曼滤波是一种强大的递归算法，专门用于估计动态系统的状态。它巧妙地结合了系统的数学模型和带有噪声的测量数据，从而提供比单独使用任一信息源更精确的状态估计。这种算法在导航、目标跟踪、控制系统等众多领域都有广泛应用。
卡尔曼滤波的数学基础建立在状态空间模型之上。系统的状态用状态向量x来描述。过程模型描述了状态如何随时间演化，包含状态转移矩阵F、控制输入矩阵B和过程噪声w。测量模型描述了如何从状态获得观测值，包含观测矩阵H和测量噪声v。这两个模型构成了卡尔曼滤波的理论基础。
预测步骤是卡尔曼滤波的第一个阶段，也称为时间更新。在这个步骤中，我们基于系统的动态模型来预测当前时刻的状态。状态预测公式使用状态转移矩阵F将上一时刻的最优估计传播到当前时刻。同时，协方差预测公式计算预测状态的不确定性，其中包含了过程噪声Q的影响。这个步骤的目的是在没有新测量数据的情况下，给出对当前状态的最佳猜测。
更新步骤是卡尔曼滤波的第二个阶段，也称为测量更新。当新的测量数据到达时，我们需要将其与预测状态进行融合。首先计算卡尔曼增益，它是一个权重因子，决定了我们应该多大程度上相信预测值和测量值。然后使用卡尔曼增益来更新状态估计，其中测量残差表示实际测量与预期测量的差异。最后更新协方差矩阵，反映融合后估计的不确定性降低。
总结一下，卡尔曼滤波是一种强大的最优状态估计算法。它的核心是预测-更新循环机制，通过有效融合系统模型的预测和传感器的测量数据，在噪声环境下提供最优的状态估计。卡尔曼滤波广泛应用于导航系统、目标跟踪、机器人控制等众多领域，是现代控制理论和信号处理中不可或缺的重要工具。