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卡尔曼滤波是一种最优递归数据处理算法，用于从包含噪声的测量中估计动态系统的状态。它广泛应用于导航系统、控制系统和信号处理等领域。如图所示，蓝色曲线是真实信号，红色点是包含噪声的测量值，绿色曲线是卡尔曼滤波的估计结果。
卡尔曼滤波基于两个核心概念：预测和更新。预测阶段基于系统模型预测下一状态，更新阶段利用测量值修正预测。通过最小化估计误差的协方差，获得最优的状态估计。右图展示了预测值、测量值和最终滤波结果的关系。
卡尔曼滤波的数学公式分为预测和更新两个阶段。预测阶段包括状态预测和协方差预测。更新阶段计算卡尔曼增益，然后更新状态估计和协方差。右图显示了卡尔曼滤波的循环流程：从初始状态开始，进行预测，获取测量，然后更新，形成一个循环过程。
让我们看一个具体的应用实例：跟踪移动物体的位置。假设物体做匀速直线运动，状态向量包含位置和速度，我们只能观测到带噪声的位置信息。卡尔曼滤波能够实时处理这些噪声测量，给出平滑的轨迹估计，这就是它的优势所在。
总结一下我们学到的内容：卡尔曼滤波是一种最优递归估计算法，通过预测和更新两个阶段实现状态估计。它能够有效处理系统噪声和测量噪声，广泛应用于导航、控制和信号处理等领域，为我们提供了实时最优估计的解决方案。