视频字幕
我们来分析函数 f(x) = -x² + 4x + 5 的图像。这是一个二次函数，其中 a = -1, b = 4, c = 5。由于 a 小于零，抛物线开口向下。图像显示了函数的关键特征：顶点在 (2, 9)，与 y 轴交点在 (0, 5)，与 x 轴交点在 (-1, 0) 和 (5, 0)，对称轴是直线 x = 2。
现在我们详细计算顶点坐标。对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，顶点的 x 坐标公式是负 b 除以 2a。在我们的函数中，x 等于负4除以2乘以负1，等于负4除以负2，结果是2。然后计算 y 坐标，将 x 等于2代入函数：f(2) 等于负2的平方加4乘以2加5，等于负4加8加5，结果是9。因此顶点坐标是 (2, 9)。
接下来我们求函数与坐标轴的交点。首先求与 y 轴的交点，令 x 等于0，得到 f(0) 等于5，所以 y 轴交点是 (0, 5)。然后求与 x 轴的交点，令 f(x) 等于0，得到方程负 x 平方加4x加5等于0。将方程重新整理为 x 平方减4x减5等于0，然后因式分解得到 (x减5) 乘以 (x加1) 等于0，解得 x 等于5或 x 等于负1。因此 x 轴交点是 (-1, 0) 和 (5, 0)。
现在我们分析函数的对称轴和性质。对称轴方程是 x 等于2，这是通过公式负 b 除以 2a 计算得出的。由于系数 a 等于负1小于0，抛物线开口向下，因此函数有最大值而没有最小值。最大值是9，出现在顶点 (2, 9) 处。函数的定义域是所有实数，值域是负无穷到9的闭区间。在对称轴左侧函数递增，右侧函数递减。
让我们总结一下函数 f(x) = -x² + 4x + 5 的图像分析。这是一个开口向下的抛物线，顶点坐标为 (2, 9)，对称轴为直线 x = 2。函数与 y 轴的交点是 (0, 5)，与 x 轴的交点是 (-1, 0) 和 (5, 0)。由于开口向下，函数有最大值 9，定义域是全体实数，值域是负无穷到 9 的闭区间。函数在对称轴左侧递增，右侧递减。