📋 信息
💬 答案
📝 字幕
视频字幕
复制
我们来解决这道关于因数个数的题目。首先理解因数个数公式：如果一个自然数N等于质数的幂次乘积，那么它的因数个数等于各个指数加一的乘积。以24为例，24等于2的3次方乘以3的1次方，所以因数个数为4乘以2等于8个。
现在我们需要找到所有能使因数个数等于8的分解方式。将8分解为大于1的整数乘积，有三种情况：第一种是8等于8，对应p的7次方形式，最小值是2的7次方等于128。第二种是8等于4乘以2，对应p1的3次方乘以p2的1次方，最小值是2的3次方乘以3的1次方等于24。第三种是8等于2乘以2乘以2，对应三个不同质数的1次方相乘，最小值是2乘以3乘以5等于30。
现在我们验证各个选项的因数个数。选项A，12等于2的2次方乘以3的1次方，因数个数为3乘以2等于6个。选项B，8等于2的3次方，因数个数为4个。选项C，24等于2的3次方乘以3的1次方，因数个数为4乘以2等于8个。选项D，30等于2乘以3乘以5，因数个数为2乘以2乘以2等于8个。选项C和D都有8个因数，但24小于30，所以答案是C。
让我们详细看看24的因数构成。24等于2的3次方乘以3的1次方，它的因数形式为2的a次方乘以3的b次方，其中a可以取0到3，b可以取0到1。这样就有4乘以2等于8种组合，对应8个因数：1、2、3、4、6、8、12、24。通过表格可以清楚地看到所有因数的分布，验证了24确实有8个因数。
总结一下解题过程：首先掌握因数个数公式，如果一个数等于质数幂次的乘积，那么因数个数等于各指数加一的乘积。要使因数个数为8，需要将8分解为大于1的整数乘积，有三种方式。通过计算得到对应的最小自然数分别是128、24和30。其中24最小，所以有8个因数的最小自然数是24，答案是C。