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李群和李代数是现代数学中的重要概念。李群是既具有群结构又具有光滑流形结构的数学对象，其中群运算都是光滑映射。李代数则是定义了李括号运算的向量空间，它反映了李群在单位元处的无穷小结构。我们可以把李群想象成一个光滑的圆，而李代数就像是圆上每一点的切向量空间。
李群必须同时满足四个条件：首先它是一个群，满足结合律并有单位元和逆元；其次它是光滑流形；第三，群乘法运算是光滑映射；最后，求逆运算也是光滑映射。常见的李群包括旋转群SO(n)、一般线性群GL(n,R)等。以二维旋转群SO(2)为例，它可以表示为单位圆，圆上的每个点代表一个旋转，两个旋转的合成对应角度的相加。
李代数是定义了李括号运算的向量空间。李括号必须满足两个重要性质：斜对称性，即X与Y的李括号等于负的Y与X的李括号；以及雅可比恒等式。李代数可以理解为李群在单位元处的切空间，它捕捉了李群的局部无穷小结构。图中显示的向量代表李代数中的元素，它们的李括号运算产生新的李代数元素。
李群与李代数之间存在重要的对应关系。指数映射将李代数元素映射到李群元素，这个映射在单位元附近是局部同构的。李代数完全决定了李群在单位元附近的局部结构。以SO(2)为例，它的李代数so(2)由反对称矩阵组成，通过矩阵指数映射可以得到对应的旋转矩阵。这种对应关系使我们能够通过研究相对简单的李代数来理解复杂的李群结构。
让我们总结一下李群和李代数的核心概念。李群是既具有群结构又具有光滑流形结构的数学对象，其群运算都是光滑映射。李代数是定义了李括号运算的向量空间，必须满足斜对称性和雅可比恒等式。指数映射建立了李群与李代数之间的重要联系，使得李代数能够反映李群在单位元处的局部无穷小结构。这些深刻的数学概念在微分几何、物理学和工程学等多个领域都有重要的应用价值。